船が水に浮いているとき、船体には下向きの重量と、水から受ける上向きの力が働いている。
この上向きの力を浮力という。

浮力が生じる理由を水中の圧力から確認したうえで、船が浮く条件を考える。

水中の立方体に働く力

水中に、一辺の長さが $a[\mathrm{m}]$ の小さな立方体を置く。
上面の水深を $h'[\mathrm{m}]$、下面の水深を $(h’+a)[\mathrm{m}]$ とする。
また、水の密度を $\rho[\mathrm{kg/m^3}]$、重力加速度を $g[\mathrm{m/s^2}]$、水面に作用する圧力を $p_0[\mathrm{Pa}]$ とする。



上面の圧力 $p(h’)[\mathrm{Pa}]$ と、下面の圧力 $p(h’+a)[\mathrm{Pa}]$ は、それぞれ次のように表される。

上面と下面の面積はいずれも $a^2[\mathrm{m^2}]$ である。
上面には下向き、下面には上向きに水圧による力が働くため、上下方向の力の差である浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ は、次のようになる。

ここで、立方体の体積を $V[\mathrm{m^3}]$ とすると、式（1.2-2）は次のように表すことができる。

したがって、浮力は、流体の密度 $\rho[\mathrm{kg/m^3}]$、物体が押しのけた流体の体積 $V[\mathrm{m^3}]$、重力加速度 $g[\mathrm{m/s^2}]$ の積で表される。


上面と下面の圧力差を取ると、両者に共通する圧力 $p_0$ と、水深 $h’$ による圧力 $\rho gh’$ は相殺される。

つまり、浮力を生み出すのは全体に共通して作用する圧力ではなく、上面と下面の水深の違いによって生じる圧力差 $\rho ga$ であることが分かる。

なお、水面が大気に開放されている場合、$p_0$ は大気圧である。

図1.2-1 水中の立方体に働く力

面の角度と水中の圧力

立方体の上面と下面では、水深の違いによって圧力差が生じた。
次に、水中の一点における圧力を、微小な三角柱の力の釣り合いから考える。

静止した水中の一点を含む、十分に小さな三角柱ABCを考える。
AB面、AC面、BC面に働く圧力を、それぞれ $p_1[\mathrm{Pa}]$、$p_2[\mathrm{Pa}]$、$p_3[\mathrm{Pa}]$ とする。
また、三角柱の奥行きを単位長さ $1[\mathrm{m}]$ とし、AC面とAB面のなす角度を $\theta$ とする。

図1.2-2 面の角度と水中の圧力

まず、水平方向に働く力は次のように釣り合う。

AB面の面積は、AC面の面積に $\cos\theta$ を掛けたものと等しい。
したがって、下記の通りとなる。

次に、鉛直方向に働く力を考える。
水の比重量を $\gamma[\mathrm{N/m^3}]$、三角形ABCの辺の長さをそれぞれ $AB[\mathrm{m}]$、$BC[\mathrm{m}]$、$AC[\mathrm{m}]$ とする。

三角柱の体積は、三角形ABCの面積に奥行き $1[\mathrm{m}]$ を掛けたものである。
したがって、三角柱内の水の重さは $\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot1\cdot\gamma[\mathrm{N}]$ である。

水の重さも含めた鉛直方向の釣り合いは、次式で表される。

三角柱を十分に小さくすると、ABとBCはともに微小となるため、その積は $AB\cdot BC\fallingdotseq0$ とみなすことができる。
このため、三角柱内の水の重さを表す $\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot1\cdot\gamma$ は、各面に働く水圧による力と比べて十分に小さく、無視することができる。

したがって、下記の通りとなる。

BC面の面積は、AC面の面積に $\sin\theta$ を掛けたものと等しいため、下記が得られる。

水平方向の釣り合いから $p_1=p_2$ 、鉛直方向の釣り合いから $p_3=p_2$ なので、下記の通りとなる。

つまり、静止した水中の同じ一点における圧力の大きさは、面の向きによらない（圧力の等方性）。
流体内の任意の点において、圧力が全方向に等しく働く性質はパスカルの原理に基づいている。

この性質があるからこそ、船体のように複雑な曲面であっても、各面に垂直に働く水圧を個別に考えることができる。

これは、水深が異なっても圧力が等しいという意味ではない。
立方体の上面と下面では水深が異なるため、圧力差が生じる。
三角柱で確認したのは、同じ一点で面の向きだけを変えた場合の圧力の性質である。

水中の微小部分から物体全体へ

立方体に限らず、流体中の物体を、幅 $\Delta x[\mathrm{m}]$、奥行き $\Delta y[\mathrm{m}]$、高さ $\Delta z[\mathrm{m}]$ の微小な部分に分けて考える。
微小部分の上面と下面の面積は $\Delta x\Delta y[\mathrm{m^2}]$、水深の差は $\Delta z[\mathrm{m}]$ である。

したがって、上面と下面に働く水圧による力の差 $\Delta F_B[\mathrm{N}]$ は、次のようになる。

ここで、$\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z[\mathrm{m^3}]$ は微小部分の体積である。
物体全体に働く浮力を求めるためには、それぞれの微小部分に働く浮力 $\Delta F_B[\mathrm{N}]$ を、水中にある部分全体について足し合わせればよい。


物体の分割を限りなく細かくすると、微小体積 $\Delta V$ による総和は、微小体積 $dV[\mathrm{m^3}]$ についての積分として表すことができる。
したがって、物体全体に働く浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ は、次式で表される。

$V[\mathrm{m^3}]$ は、物体が押しのけた水の体積である。
この式は、立方体だけでなく、任意の形状をした物体についても、浮力の大きさが押しのけた水の重さと等しいことを示している。

これがアルキメデスの原理である。

図1.2-3 水中の物体を微小部分に分けて考える方法

浮力と物体の重量

物体に働く下向きの重量を $W[\mathrm{N}]$、上向きの浮力を $F_B[\mathrm{N}]$ とする。
両者の大小関係によって、物体が浮上するか、釣り合うか、沈下するかが決まる。

重量より浮力が大きい場合

浮力が重量より大きい物体は浮上する。
物体の一部が水面から出ると、水中にある部分の体積 V$[\mathrm{m^3}]$ が小さくなり、浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ も減少する。

やがて重量 $W[\mathrm{N}]$ と浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ が等しくなると、物体は水面に浮いた状態で釣り合う。
船が浮いているのもこの状態である。

重量と浮力が等しい場合

物体が水中にあり、重量 $W[\mathrm{N}]$ と浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ が等しい場合は、浮上も沈下もせず釣り合う。
この状態を中性浮力という。

潜水艇や潜水艦は、バラストを調整して中性浮力の状態をつくる。

また、水面に浮いて静止している船も、重量 $W[\mathrm{N}]$ と浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ が等しい状態にある。
ただし船の場合は、水面下にある部分の体積に応じた浮力で釣り合っている。

重量より浮力が小さい場合

重量が浮力より大きい物体は沈下する。ただし、沈下中も物体には浮力が働いている。

船の排水量との関係

静止して浮いている船では、船の重量 $W[\mathrm{N}]$ と浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ が釣り合う。
また、アルキメデスの原理より、浮力は船が押しのけた水の重さに等しい。

船が押しのけた水の体積 $V[\mathrm{m^3}]$ を排水容積という。
したがって、船の水面下にある部分の容積を求めれば、船が押しのけた水の量を求めることができる。

次回の「1.3 排水容積と排水量の計算」では、1.1で求めた断面積を使い、排水容積から排水量を計算する。

この記事について

参考文献
・「これ一冊で船舶工学入門」商船高専キャリア教育研究会 編
・「船舶幾何学　造船設計の基礎知識」慎　燦益　著


※本記事は、上記文献を参考にしつつ、筆者の理解に基づき整理したものである。

船舶工学の基礎