船の排水量を求めるためには、まず、水面下にある船体の容積を求める必要がある。

船体の各位置における水面下の横断面積が分かれば、その面積を船の長さ方向に積み重ねることで、船体全体の水面下の容積を求めることができる。

本記事では、横断面積から排水容積を求め、排水量を計算する方法を考える。

横断面積から排水容積を求める

船尾垂線A.P.から船首方向への距離を $x[\mathrm{m}]$、喫水を $d[\mathrm{m}]$ とし、その位置で水面下にある船体の横断面積を $A(x,d)[\mathrm{m^2}]$ とする。

船体を長さ方向に微小な幅 $dx[\mathrm{m}]$ で分けると、その部分の水面下の容積は $A(x,d)\,dx[\mathrm{m^3}]$ で表される。

これを船尾垂線A.P.から船首垂線F.P.まで足し合わせると、喫水 $d[\mathrm{m}]$ における排水容積 $\nabla(d)[\mathrm{m^3}]$ が求められる。

ここで、$L_{PP}[\mathrm{m}]$ は、船尾垂線A.P.から船首垂線F.P.までの水平距離である垂線間長を表す。

ここでは、水面下の船体が船尾垂線A.P.から船首垂線F.P.までの範囲に収まるものとして考える。
この範囲外にも水面下の部分がある場合は、その容積を加える必要がある。

船体中心線から片舷の船側までの幅を $b(x,z)[\mathrm{m}]$ とし、基線から鉛直上向きに測った高さを $z[\mathrm{m}]$ とする。
左右対称の船体として横断面積を表せば、排水容積は次のようにも書ける。

内側の積分で各位置の水面下の横断面積を求め、外側の積分でその面積を船の長さ方向に積み重ねる。
排水容積 $\nabla$ の単位は、通常 $[\mathrm{m^3}]$ である。

図1.3-1 横断面積から排水容積を求める方法

排水容積と排水量の関係

船が水面に浮いているとき、水面下にある船体は、その容積と同じ体積の水を押しのけている。
したがって、排水容積 $\nabla[\mathrm{m^3}]$ は、船が押しのけた水の体積でもある。

海水の密度を $\rho_{sw}[\mathrm{kg/m^3}]$、重力加速度を $g[\mathrm{m/s^2}]$、海水の比重量を $\gamma_{sw}[\mathrm{N/m^3}]$ とすると、下記の通りになる。

押しのけた海水の重さを $\Delta[\mathrm{N}]$ と表せば、次式が成り立つ。

これは、排水容積に相当する海水の重さである。

アルキメデスの原理より、船体に働く浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ の大きさは、船が押しのけた海水の重さに等しい。

浮いている船の重量

船が静止して浮いているとき、船体に働く上向きの浮力 $F_B[\mathrm{N}]$ と、下向きの船の重量 $W[\mathrm{N}]$ は釣り合っている。

また、$F_B=\Delta$ であるため、下記の通りとなる。

つまり、浮いている船の重量は、その船が押しのけた海水の重さに等しい。

船の重量を直接測定することは困難である。しかし、船体の形状が分かっていれば、喫水から排水容積を求め、押しのけた水の重さを計算することによって、船の重量を求められる。

排水量の単位について

ここまでの $\Delta=\rho_{sw}\nabla g$ は、押しのけた水に働く重力の大きさを表している。
$\rho_{sw}$ を $\mathrm{kg/m^3}$、$\nabla$ を $\mathrm{m^3}$、$g$ を $\mathrm{m/s^2}$ で表すと、$\Delta$ の単位は $\mathrm{N}$ となる。

一方、船の排水量を $\mathrm{t}$ で表す場合は、押しのけた水の質量を示している。
この場合、密度を $\mathrm{t/m^3}$ で表せば、計算式は次のようになる。

このように、同じ「排水量」という言葉でも、式を読む際には重さを力として表しているのか、質量として表しているのかを単位で確認する必要がある。

まとめ

船の排水容積は、水面下の横断面積を長さ方向に積み重ねることで求められる。

船が静止して浮いているとき、アルキメデスの原理により、浮力は排水容積に相当する水の重さに等しく、その大きさは船の重量と釣り合う。

したがって、船体形状と喫水から排水容積を求めることが、排水量と船の重量を求める出発点となる。

この記事について

参考文献
・「これ一冊で船舶工学入門」商船高専キャリア教育研究会 編


※本記事は、上記文献を参考にしつつ、筆者の理解に基づき整理したものである。

第1章 排水量等の計算